Bilangan Euler

Bilangan $e$ atau pada saat ini sering disebuat sebagai bilangan euler, ditemukan  oleh matematikawan Eropa dengan cara yang tidak terduga.  Awalnya pada tahun 1618, dalam lampiran karya John Napier (1550-1617) tentang logaritma, muncul sebuah tabel yang memberikan nilai logaritma natural dengan berbagai angka. Namun hal tersebut tidak dikenali sebagai  logaritma basis $e$ karena dasar perhitungannya tidak sesuai dengan cara perhitungan logaritma yang dipikirkan pada saat ini. Beberapa tahun kemudian, pada tahun 1624, Henry Brigs (1561-1630) memberikan perkiraan numerik pada basis 10 logaritma $ e $ tetapi tidak menyebutkan $ e $ sendiri dalam karyanya.

Selanjutnya  pada tahun 1647, Saint-Vincent (1584-1667) menghitung daerah di bawah hiperbola persegi panjang.  Dia menduga hal ini ada hubungannya  dengan logaritma dan ingin mengangkatnya menjadi topik perdebatan di kalangan matematikawan masa itu. Namun hal ini tidak terjadi, kemudian tahun 1661 Christiaan Huygens (1629-1695)  memeriksa secara eksplisit hubungan antara area di bawah hiperbola persegi panjang $ yx = 1 $ dan logaritma. Dia menemukan bahwa luasan di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 ke $ e $ luasnya sama dengan 1.  Huygens membuat kemajuan lain pada 1661. Dia mendefinisikan kurva yang dia sebut "logaritmik" , sekarang dikenal  sebagai kurva eksponensial, memiliki bentuk $y = ka^x$.  Selain itu dia juga  menghitung  logaritma ke basis 10 dari $ e $ sampai  17 tempat desimal. Hal  ini muncul sebagai perhitungan konstanta dalam karyanya dan tidak diakui sebagai logaritma angka.

Secara mengejutkan, $ e $ pertama kali ditemukan tidak melalui gagasan tentang logaritma, melainkan melalui studi tentang bunga majemuk. Pada 1683 Jacob Bernoulli (1655-1705) melihat masalah bunga majemuk dan memeriksa bunga majemuk terus menerus, ia mencoba menemukan batas $ \left( 1 +\frac{1}{n}\right) ^n $ ketika $ n $ mendekati tak hingga. Dia menggunakan teorema binomial untuk menunjukkan bahwa batas harus terletak antara 2 dan 3 sehingga memperoleh nilai  $ 2.7182818... $ . Kita menerima ini sebagai definisi dari $ e $, ini adalah pertama kalinya suatu angka didefinisikan oleh proses pembatas.

Pertama kali angka $ e $ muncul dengan sendirinya adalah pada tahun 1690. Pada tahun itu Gottfried Leibniz (1646-1716) menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut $ e $. Akhirnya angka $ e $ memiliki nama dan diakui.

Begitu banyak notasi matematika kita berhubungan dengan Euler sehingga tidak mengherankan untuk menemukan bahwa notasi $ e $ untuk anggka ini adalah karena Euler. Notasi $ e $ muncul pertama kali dalam surat yang ditulis Euler kepada Goldbach pada 1731. Ia membuat berbagai penemuan tentang $ e $ pada tahun-tahun berikutnya, tetapi baru pada tahun 1748 ketika Euler menerbitkan Introductio in Analysin infinitorum berisi percobaan untuk mengekspresikan $ e $. Diantaranya sebagai berikut :

$ e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots $ dan $ \underset{n\rightarrow \inf}{\lim}\left( 1+\frac{1}{n}\right)^n   $

Euler memberikan perkiraan untuk nilai $ e= 2.718281828459045235 $. Di antara hasil menarik lainnya dalam karya ini adalah hubungan antara fungsi sinus dan kosinus dan fungsi eksponensial kompleks, yang disimpulkan Euler menggunakan rumus De Moivre. 

 $ e^{ix}=cosx+isinx \ \ \ ,i=\sqrt{-1}  \\$

Selain itu Euler juga memberikan ekspansi pembagian lanjutan dari $ e $ dan mencatat pola dalam ekspansi. Secara khusus Euler memberikan :

 $ \dfrac{e-1}{2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\dfrac{1}{10+\dfrac{1}{14+\dfrac{1}{18+\cdots}}}}} $

 dan

${e-1}=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{4+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{6+\cdots}}}}}}}}} $

Salam Matematika, semoga bermanfaat

Source :

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/e.html